“非标准分析的世界比标准分析的世界还要复杂很多。”

    “虽然统一称作非标准分析，但它们其实指的是一类不同于标准集合论公理的数学系统。”

    “有一些只是普通集合论公理的保守扩张，虽然引入了无限大数和无限数，但里面的结论可以转换到标准分析的数学体系里。”

    “另外一些则比常规集合论公理描述的世界更大。”

    “不只是在原来的基础上增加一些超实数这么简单，数的基本定义都会发生改变。”

    “总之，就像是之前一样，还是从最基础的部分开始。”

    李恒伸手拿过阿基里斯胸前挂着的粉白色螺旋钥匙，将它的尖端对准了那条白色的数轴。

    在阿基里斯略有疑惑的目光中，他口中像是念咒语一样低声道：

    “升级，二星芝诺机。”

    紧接着这枚粉白色的螺旋状钥匙表面就多了一丝红色的纹路，表明这台超图灵机与之前的不同。

    “好了，我现在已经给它赋予了不可数无限的力量，你可以用它来切开实数之间的缝隙了。”

    喂，这也太简单了吧，你这是在玩什么卡牌游戏嘛！

    阿基里斯心中一阵吐槽。

    明明在之前的旅途中把不可数无限的种种性质描述得那么可怕。

    证明了实数的主要构成部分是无法用有限的字符准确定义的不可定义数，它们对于有限的凡人是不可知不可论的存在。

    结果现在随便一句话就弄出了一台升级版的二星芝诺机，一下子就把不可数无限变得没什么逼格了。

    “『在数学中你并没有理解什么东西，你只是习惯了它们而已。』”

    “这个世界上没有宗教意义上的唯一神，也没有绝对正确的真理，更没有什么至高无上的无敌境界。”

    “你现在所知的宏伟事物，在更广阔的世界里也只是一丝微不足道的尘埃。”

    李恒抬起手掌，在这片混沌不可知的世界中轻点食指。

    阿基里斯发现，在这一刻一切都消失了。

    她的眼中不再有奇怪的分数维空间，不再有混乱跳跃的线条。

    这个容纳着实数，比之前的世界更随机、更未知的不可知世界，不再给她带来那种超出理性边界的混沌感觉。

    世界安静到了极点，仿佛回到了她的意识诞生之前，又或者是去到了她死后意识消失的世界。

    纯粹的黑暗，纯粹的虚无。

    李恒把这个实数世界里的所有信息都一键清空了。

    对于现在的他，将一个体量达到不可数无限等级的世界毁灭归墟，并不会比踩死一只蚂蚁更困难。

    “接下来我们会触及到这个世界最本质的力量。”

    “它们是比空间和时间更基础，甚至比起那些由纯粹的信息构成的数都更为基本的存在。”

    “它们是宇宙万物的起点，是先于一切存在而诞生的最初的因。”

    “它们就是那些我们无法去探究原因、无法去理解，只能去习惯的东西。”

    “它们是不证自明的公理，是构成一个广阔无垠的集合论宇宙的基础规则。”

    “你在这个世界里有可能认知的一切事物，都在这些公理规则构建的集合论宇宙之内。”

    “从某种意义上来，你看到的这些不证自明的公理就是我的身体。”

    李恒看着自己探出的手掌，笑了笑道：

    “这并不困难，我刚刚升级那台芝诺机所使用的就是幂集公理，从一个?0的集合中，无中生有地创造了一个?1的集合。”

    一生万物、万物归一者，无所不知、无处不在，这些概念虽然起来很厉害，但都显得有些虚而不实。

    超越光速的4阶黑洞生命体就能做到无处不在，化作一方容纳亿亿万万可观测宇宙的庞大宇宙，体内容纳无数文明众生。

    给这种黑洞生命体挂上这些厉害的名号也不会有什么突兀之处。

    但是，这些有限的生命体使用的力量依旧算不上是自己的，只是来自于栖身的无限宇宙微不足道的一丝力量罢了。

    黑洞生命体那无穷无尽的能量是来自于真空本身的能量。

    这种能量是宇宙永恒暴胀的残余。

    宇宙的永恒暴胀又源于量子比特的无尽复制。

    量子比特的无尽复制就源自构成世界的公理规则。

    只有到了无限领域，才能掌握一个足够大，大到至少能容纳全体自然数集合的公理系统。

    从而掌握无中生有的力量，真正做到自给自足，不假外物。

    “这个世界上存在的一切事物都源于无中生有的力量，这份力量就源于构成这个世界最基础的公理。”

    “回忆一下之前我们研究自然数时我跟你提到的概念，在集合论中是如何定义自然数的？”

    阿基里斯回忆着之前提到过的集合论中对自然数的基本定义，感受着这片虚无的世界道：

    “空集？”

    空集，一个什么元素都没有的集合。

    最初出现空集的概念是为了应付两个不相交集合的交集的情况。

    例如全体奇数的集合和全体偶数的集合，就是两个没有交集的集合。

    但空集却与“无是完全不存在的”这种不可思议的、哲学上的无的概念相当不同。

    空集是有意义的。

    不包含任何元素的空集也是一种存在，是集合论中最的集合。

    虚无也是一种存在，就像现在两人所在的这个比真空还要更为空无，被清空了一切信息的世界。

    “空集没有元素，所以定义数0为空集?。”

    “接着，定义数1是含有以空集作为一个元素的集合?。”

    “它同空集不一样，空集是没有元素的集合，而?是含有一个元素的集合。”

    有了最初的0和1，后续的一切就很简单了，就像数数一样无限+1即可。

    以此方法无限重复下去，自然数集合中的每一个元素都可以用像俄罗斯套娃一样的嵌套集合来代替，一切都只涉及到空集的概念。

    如此就从空无一物的虚无开始，创造出了一个无限的存在。

    “咦？”

    阿基里斯突然轻咦一声。

    她仅仅只是在脑海里思考这条规则，这片空无一物的虚无世界就变了模样。

    存在从虚无中诞生了。

    白色的光芒以她为中心，向着周围的世界无穷无尽地涌现，创造出一个纯净无暇如同堂的世界。

    这一幕简直就像是圣经中上帝创造世界时的景象。

    李恒轻轻拍了两下手掌道：

    “很好，现在你已经学会了创造自然数集合的规则，掌握了无中生有的力量。”

    就这么简单？

    阿基里斯望着这片自己创造的纯白无暇的世界，有些不太自信地问道：

    “我怎么觉得……这种创造世界的方法一点都不唯物呢？”

    这也太唯心了吧，简直就像是宗教神话一样。

    “的确如此。”

    李恒赞同地道：

    “一开始我以为自己的力量来自于信息场，我使用的力量类似于真空零点能，这个超级信息网络就像是量子比特海洋的升级版。”

    “后来我才发现，这种无中生有的力量是我的身体所自带的。”

    “这种力量来自于我身体内容纳的公理规则，以这些公理为基础诞生的庞大世界反而是细枝末节。”

    “总之，这些公理的力量就像是普通人面对着永恒暴胀一样，我们能做的只是习惯它们的存在。”

    好吧，那就先用着再。

    阿基里斯也不寻根究底。

    原始人不明白自己大脑中的亿万细胞是如何能够正常运转的，但这并不妨碍它们用这颗大脑的力量去打猎和寻找食物。

    “但是，以上这种方法只是在自然数集合范围内的定义。”

    “我们现在不仅要从空集开始定义自然数、有理数、实数，还要用它定义包括无限大数和无限数在内的超实数。”

    “想要定义如此繁杂丰富，数量比?1还要多得多的数，仅仅使用这种旧的公理规则是不够的。”

    “发现了吗，我们的研究直接从实数跳到了超实数，却没有去谈论虚数和复数。”

    “这是因为复数域不是有序域。”

    复数，四元数，这些数都是对实数的扩充。

    但这些数与实数有本质区别，它们不能比较大。

    联系几何的概念，复数是存在与复平面上的数。

    四元数又被称为超复数，是存在于空间中的数。

    平面和空间的情况显然与直线不同，代表着点的数与数之间没有单纯的“左”和“右”的关系。

    因此这些数也不能像是分布在数轴上的数那样，进行大比较。

    类似于有理数域、实数域和超实数域这样可以比较大的数域，就称作有序域。

    这种有序性显然与数在数轴上分布的左右关系是一样的。

    “有序性，是戴德金分割？”

    阿基里斯反应了过来。

    数轴上分布的数具备有序性，彼此之间可以比较大。

    因此就可以使用分割数轴的方式，用两个左右互斥的集合来准确定义一个数。

    这种定义方式与生成自然数的规则是不同的，它一开始就至少要用到两个集合。

    在旧的规则中，定义自然数最初的0却仅仅只需要用到一个空集。

    从最初诞生的基础规则开始就不同，用这种全新的方式定义的数恐怕与普通的数也完全不是一回事。

    “没错，用两个互斥的左集和右集来定义一个数。”

    李恒举起手中的那台二星芝诺机，将它那看不到具体大的尖端对准白色的数轴。

    阿基里斯耳边有清脆的破裂声响起，看似无缺无漏的实数之间被破开了一道缝隙，超越实数的世界被找到了。

    纯白无暇的世界消失不见，这个隐藏在实无穷区域中的新世界既不是虚无的黑暗，也不是不可知的混沌。

    这里是一片普通的海滩，海滩边埋着一块黑色的大石头，露出来的半截上面刻着一段像是涂鸦一样的雕文。

    “公理石碑？”

    阿基里斯微眯着眼睛看向那块黑色大石头。

    名字起的倒是高大上，但看起来就是一块黑漆漆的大石头，跟石碑这个词完全搭不上边。

    『初，万物混沌苍茫，尔后康威始创诸数。』

    『创生二道，大诸数盖由此出。

    其一曰：凡数，皆合于前创二数之集，其位左者，无一大于或等于其位右者。

    其二曰：甲数于或等于乙数，当且仅当甲数之左集中无一大于或等于乙数，且乙数之右集中无一于或等于甲数。』

    『康威检视二道，连呼妙哉！此二道真妙绝！』

    这两条规则并不难理解，第一条规则就是描述了数轴的有序性。

    第二条规则就是戴德金分割的基本思想，用数轴上左右互斥的两个集合和来定义一个数。

    每一个数本质上都是一对数集，并且这些数集中的每一个数本身也是一对数集。

    “康威？”

    阿基里斯低声念着这个名字。

    两人之前在讨论大数的时候提到过这个名字，用于表示大数的高德纳箭头和康威链式箭号。

    这人应该就是那个康威。

    她继续向下看去。

    『元初之数，左右皆空，康威名之曰“零”，命其为正负两界分野之符。』

    『康威证得零于或等于零，此间妙也。夜去昼来，是为零日。』

    『次日又得二数，其一以零为左集，其一以零为右集，前者曰“一”，后者曰“负一”…』

    这就是用前面提到的两条规则来定义数了。

    知道了戴德金分割的基本思想，这种全新的规则阿基里斯看过一遍就明白了。

    每一个数本质上都是一对数集。

    但最初没有任何的数，唯一存在的东西就是虚无，也就是空集。

    所以最初的数左右两侧都是空集，这个数就是0。

    写成符号形式就是，0=(?丨?)。

    左右皆空，空集不包含任何元素，空集与空集之间自然也就没有交集。

    并且，因为不包含任何元素，所以空集是任意一个集合的子集。

    这就意味着空集可以被随意地放在左侧或者右侧。

    无论另一边的集合中是包含一个还是无穷多个元素，空集都一定满足这两条规则。

    空集的这种性质还真是好用，集合论里的空集果然和哲学意义上一切皆无的概念完全不一样。

    1=(｛0｝丨?)

    2=(｛0，1｝丨?)

    -1=(?丨｛0｝)

    -2=(?丨｛－1，0｝)

    以此类推，便可创造出一切整数。

    “不，或许这些符号还可以更简单一些。”

    阿基里斯突然又摇了摇头。

    比较数轴上左右两个互斥集合，不需要比较集合中的每一个元素，只需要比较左集中的最大元素和右集中的最元素。

    这样的话，2=(｛0，1｝丨?)也可以写成2=(｛1｝丨?)。

    每一个新的数都在旧数的边界之处创造。